Les annales du bac

Pour aller plus loin (Ancien programme) - Mathématiques Spécialité

Exemple d'exercice parmi les 321 exercices du chapitre

Dans cet exercice, on étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

Partie A - Démonstration préliminaire

Soit \( X \) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \( 0,2 \).
On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire \( X \), notée \( E(X) \), est égale à : \[ \lim_{x\to + \infty} \int_{0}^{x} 0,2te^{-0,2t} dt \]
Le but de cette partie est de trouver la valeur de \( E(X) \).

1. On définit la fonction \( G \) sur l'intervalle \( [ 0 ; + \infty [ \) par \( G(t) = \left(-5 - t\right)e^{-0,2t} \).

Déterminer pour tout \( t \) appartenant à l'intervalle \( [ 0 ; + \infty [ \) l'expression de \( G'(t) \).
2. En déduire la valeur de \( E(X) \).
Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : \[ \lim_{x\to + \infty} xe^{- 0,2 x} = 0 \]

Partie B - Étude de la durée de présence d'un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire \( T \).
Cette variable \( T \) suit une loi normale d'espérance \( 20 \) minutes et d'écart type un réel positif noté \( \sigma \).
Grâce à cette étude, on estime que \( P(T \lt 10) = 0,267 \).

1. Déterminer une valeur arrondie du réel \( \sigma \) à la minute près.
2. Dans cette question, on prend \( \sigma = 20 \) minutes.
Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché ?
On donnera une réponse arrondie au % près.

Partie C - Durée d'attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \( 0,2 \text{min}^{-1} \).

a) Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.
b) Calculer la probabilité, arrondie à \( 10^{-3} \), que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à \( 14 \) minutes.
2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :
  • parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, \( 57 \)% attendent moins de \( 10 \)minutes ;
  • parmi les clients passant en caisse, \( 78 \)% attendent moins de \( 10 \)minutes.
On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :
\( B \) : «le client paye à une borne automatique» ;
\( \overline{B} \) : «le client paye à une caisse avec opérateur» ;
\( S \) : «la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à \( 10 \) minutes».
Une attente supérieur à \( 10 \) minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de \( 67 \)% des clients attendent moins de \( 10 \) minutes.

Quelle est la proportion maximale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?
On donnera la valeur limite exacte.

Partie D - Bons d'achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de \( 10 € \) d'achats.
Par exemple, si le montant des achats est \( 73,76 € \), alors le client obtient \( 7 \) cartes ; si le montant est \( 149,63 € \) le client obtient \( 14 \) cartes.
Les cartes gagnantes représentent \( 0,2 \) % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de \( 111,60 € \).
Quelle est la probabilité, arrondie à \( 10^{-2} \), qu'il obtienne au moins une carte gagnant ?
2. À partir de quel montant d'achats, arrondi à \( 10 € \), la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à \( 70 \)% ?
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