Les annales du bac

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

• \( 62 \) % de la population est vaccinée.
• \( 8 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
• \( 16 \) % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
• G : « la personne a contracté la grippe ».

Partie B

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à \( 0,62 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.

On interroge un échantillon de \( 3570 \) habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que \( n = 3570 \).
On note \( Y \) la variable aléatoire définie par : \( \dfrac{X - 1560}{28} \).
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire \( Y \) peut être approchée par la loi normale centrée réduite.

Pour tout entier naturel \( n \) supérieur ou égal à \( 1 \), on note respectivement \( a_n \) et \( b_n \) les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de \( n \) années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est \( a_0 = 200 \) et celui du bassin B est \( b_0 = 800 \).

On désigne par \( A \) et \( B \) les matrices telles que \( A = \begin{pmatrix}0 & 2\\1 & 0\end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix}100\\200\end{pmatrix} \) et pour tout entier naturel \( n \), on pose \( X_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} \).

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \( ( O\ ; \overrightarrow{u} \ , \overrightarrow{v} ) \).
On considère les points \( F \), \( G \) et \( L \) d'affixes respectives \( f = -2\left(i + \sqrt{3}\right) \),\( g = 2\left(i - \sqrt{3}\right) \) et \( l = -2\left(1 + i\sqrt{3}\right) \).

Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'une figure où l'on placera les points \( F \), \( G \) et \( L \) et que l'on complétera au fur et à mesure de l'avancement des questions.
On considère maintenant les points \( F' \), \( G' \) et \( L' \) d'affixes respectives \( f' = f e^{\dfrac{5}{6}\pi i}\),\( g' = g e^{\dfrac{5}{6}\pi i}\), et \( l' = l e^{\dfrac{5}{6}\pi i}\).

Pour la suite, on admet que \( f' = 4 \) et \( l' = 2\left(i + \sqrt{3}\right) \).
On admet également que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \( \left[ MN \right] \) a pour affixe \( \frac{m+n}{2} \) et la longueur \( MN \) est égale à \( \left| n-m \right| \).
On note \( p \), \( q \) et \( r \) les affixes des milieux respectifs \( P \), \( Q \) et \( R \) des segments \( \left[ F' G \right] \), \( \left[ G' L \right] \) et \( \left[ L' F \right] \). On admet que \( r = 0 \).

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

Les bons d'achat verts prennent la valeur de 55 euros avec une probabilité égale à 0,1 ou des valeurs comprises entre 3 et 19 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 55 ou 85 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,1 et 0,05 ou des valeurs comprises entre 5 et 19 euros avec des probabilités non précisées ici.

Dans un des magasins de cette chaîne, sur 150 clients privilégiés, 25 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 55€.
Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est trop important et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (\( CO_2 \)) à débit constant.

Dans ce qui suit, \( t \) est le temps exprimé en minutes.

À l'instant \( t = 0\), la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant \( 20 \) minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de \( CO_2 \) contenu dans le local au bout de \( t \) minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression \( f(t) \), où \( f \) est la fonction définie pour tout réel \( t \) de l'intervalle \( [0 ; 20] \) par : \[ f(t) = \left(0,7t + 0,3\right)e^{-0,5t} + 0,17 \] On donne ci-après le tableau de variation de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 20]\).

Ainsi, la valeur \( f(0) = 0,47 \) traduit le fait que le taux de \( CO_2 \) à l'instant \( 0 \) est égal à \( 47\%% \).

On souhaite que le taux de \( CO_2 \) retrouve une valeur \( V \) inférieure ou égale à \( 40\%% \).
On considère l'algorithme suivant :

On désigne par \( V_m \) le taux moyen (en pourcentage) de \( CO_2 \) présent dans le local pendant les \( 17 \) premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.