Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, trois quarts de bons rouges et un quart de bons verts.

Les bons d'achat verts prennent la valeur de 40 euros avec une probabilité égale à 0,02 ou des valeurs comprises entre 1 et 17 euros avec des probabilités non précisées ici.

De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 40 ou 110 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,1 et 0,05 ou des valeurs comprises entre 6 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.

Dans tout cet exercice, les résultats des probabilités seront arrondis à \(10^{-3}\) près.
Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 40 euros sachant qu'il est rouge.

Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 40 euros.

Dans un des magasins de cette chaîne, sur 325 clients privilégiés, 52 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 40€.
Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est trop important et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.

Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de personnes ayant reçu un bon d'une valeur supérieure ou égale à 40€.
On arrondira les bornes à \(10^{-3}\) près. Par exemple, \([0,2627 ; 0,6648]\) deviendra \([0,263 ; 0,665]\).

Les doutes du directeur sont-ils justifiés ?

Dans cet exercice, on étudie certaines caractéristiques d'un supermarché d'une petite ville.

Partie A - Démonstration préliminaire

Soit \( X \) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \( 0,2 \).
On rappelle que l'espérance de la variable aléatoire \( X \), notée \( E(X) \), est égale à : \[ \lim_{x\to + \infty} \int_{0}^{x} 0,2te^{-0,2t} dt \]
Le but de cette partie est de trouver la valeur de \( E(X) \).

1. On définit la fonction \( G \) sur l'intervalle \( [ 0 ; + \infty [ \) par \( G(t) = \left(-5 - t\right)e^{-0,2t} \).

Déterminer pour tout \( t \) appartenant à l'intervalle \( [ 0 ; + \infty [ \) l'expression de \( G'(t) \).

2. En déduire la valeur de \( E(X) \).
Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le résultat suivant : \[ \lim_{x\to + \infty} xe^{- 0,2 x} = 0 \]

Partie B - Étude de la durée de présence d'un client dans le supermarché

Une étude commandée par le gérant du supermarché permet de modéliser la durée, exprimée en minutes, passée dans le supermarché par un client choisi au hasard par une variable aléatoire \( T \).
Cette variable \( T \) suit une loi normale d'espérance \( 35 \) minutes et d'écart type un réel positif noté \( \sigma \).
Grâce à cette étude, on estime que \( P(T \lt 20) = 0,12 \).

1. Déterminer une valeur arrondie du réel \( \sigma \) à la minute près.

2. Dans cette question, on prend \( \sigma = 15 \) minutes.
Quelle est alors la proportion de clients qui passent plus d'une heure dans le supermarché ?
On donnera une réponse arrondie au % près.

Partie C - Durée d'attente pour le paiement

Ce supermarché laisse le choix au client d'utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur.

1. La durée d'attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \( 0,2 \text{min}^{-1} \).

a) Donner la durée moyenne d'attente d'un client à une borne automatique de paiement.

b) Calculer la probabilité, arrondie à \( 10^{-3} \), que la durée d'attente d'un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à \( 5 \) minutes.

2. L'étude commandée par le gérant conduit à la modélisation suivante :

• parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, \( 76 \)% attendent moins de \( 12 \)minutes ;
• parmi les clients passant en caisse, \( 58 \)% attendent moins de \( 12 \)minutes.

On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants :
\( B \) : «le client paye à une borne automatique» ;
\( \overline{B} \) : «le client paye à une caisse avec opérateur» ;
\( S \) : «la durée d'attente du client lors du paiement est inférieure à \( 12 \) minutes».
Une attente supérieur à \( 12 \) minutes à une caisse avec opérateur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de \( 68 \)% des clients attendent moins de \( 12 \) minutes.

Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet objectif soit atteint ?
On donnera la valeur limite exacte.

Partie D - Bons d'achat

Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou perdantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de \( 25 € \) d'achats.
Par exemple, si le montant des achats est \( 81,83 € \), alors le client obtient \( 3 \) cartes ; si le montant est \( 175,05 € \) le client obtient \( 7 \) cartes.
Les cartes gagnantes représentent \( 0,4 \) % de l'ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d'une carte à un tirage avec remise.

1. Un client effectue des achats pour un montant de \( 128,44 € \).
Quelle est la probabilité, arrondie à \( 10^{-2} \), qu'il obtienne au moins une carte gagnant ?

2. À partir de quel montant d'achats, arrondi à \( 25 € \), la probabilité d'obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à \( 60 \)% ?

Résoudre dans l'ensemble \( \mathbb{C} \) des nombres complexes l'équation \((E)\) d'inconnue \(z\) : \[ 49 + z^{2} + 7z\sqrt{3} = 0 \] On écrira la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \left\{ 1 ; 3 \right\}\) ou \( \left[ 2 ; 4 \right[ \)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \( ( O\ ; \overrightarrow{u} \ , \overrightarrow{v} ) \).
On considère les points \( A \), \( B \) et \( C \) d'affixes respectives \( a = - \dfrac{7}{2}\left(i + \sqrt{3}\right) \),\( b = \dfrac{7}{2}\left(i - \sqrt{3}\right) \) et \( c = - \dfrac{7}{2}\left(1 + i\sqrt{3}\right) \).

Calculer le module du nombre \( a \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Calculer un argument du nombre \( a \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Donner la forme exponentielle du nombre \( a \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sous la forme exponentielle sans formatage particulier.

Donner la forme exponentielle du nombre \( b \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sous la forme exponentielle sans formatage particulier.

Les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont sur un même cercle \( \mathscr{C} \) de centre \(O\).
Quel est le rayon de ce cercle ?

Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'une figure où l'on placera les points \( A \), \( B \) et \( C \) et que l'on complétera au fur et à mesure de l'avancement des questions.
On considère maintenant les points \( A' \), \( B' \) et \( C' \) d'affixes respectives \( a' = a e^{- \dfrac{1}{6}\pi i}\),\( b' = b e^{- \dfrac{1}{6}\pi i}\), et \( c' = c e^{- \dfrac{1}{6}\pi i}\).

Calculer l'affixe de \( b' \), sous forme polaire.
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Calculer le module du nombre \( a' \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Calculer un argument du nombre \( a' \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Pour la suite, on admet que \( a' = -7 \) et \( c' = - \dfrac{7}{2}\left(i + \sqrt{3}\right) \).
On admet également que si \(M\) et \(N\) sont deux points du plan d'affixes respectives \(m\) et \(n\) alors le milieu \(I\) du segment \( \left[ MN \right] \) a pour affixe \( \frac{m+n}{2} \) et la longueur \( MN \) est égale à \( \left| n-m \right| \).
On note \( t \), \( u \) et \( v \) les affixes des milieux respectifs \( T \), \( U \) et \( V \) des segments \( \left[ A' B \right] \), \( \left[ B' C \right] \) et \( \left[ C' A \right] \). On admet que \( v = - \dfrac{7}{2}\left(i + \sqrt{3}\right) \).

Calculer \( t \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Calculer également \( u \).
On donnera en réponse uniquement le résultat sans formatage particulier.

Quelle est la nature du triangle \( T U V \) ?

On désigne par \((E)\) l'équation \(z^{4} + 16z^{2} + 256 = 0\), d'inconnue complexe \(z\).Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(Z^{2} + 16Z + 256 = 0\).
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme exponentielle.

On désigne par \(a\) le nombre complexe dont le module est égal à \(4\) et dont un argument est \(\dfrac{\pi }{3}\).
Calculer \(a^{2}\) sous forme algébrique.

En déduire l'ensemble des solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^{2} = -8 + 8i\sqrt{3}\).
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.

On admet que \((E)\) admet au plus quatre solutions. En remarquant que si \(z\) est solutions de \((E)\) alors \(\overline{z}\) l'est aussi, donner l'ensemble des solutions de \((E)\).
On écrira sous la forme d'un ensemble, où les solutions sont sous la forme algébrique.

On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -13y + 2x = 1 \]

Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).

Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.

Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).

Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et \( y \) jetons verts.
Sachant que \( -13y + 2x = 1 \), donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \) le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche à maximiser le nombre de jetons verts.

Dans la suite, on supposera qu'il y a 7 jetons rouges et 1 jetons verts.

On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

• Lorsqu'on est en A :
  Le pion va en B si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en B :
  Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en C :
  Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en B si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).

On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,68 & 0,04 & 0,28\\0,04 & 0,68 & 0,28\\0,04 & 0,28 & 0,68\end{pmatrix} \).

Donner la matrice ligne \( X_{0} \).

Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).

On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & - \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{15}\\- \dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{9} & 0\\\dfrac{1}{9} & \dfrac{19}{45} & \dfrac{7}{15}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,4 & 0 & 0\\0 & 0,64 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).

À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.

Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).

Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).

On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

On admet que \( \alpha_n = \dfrac{1}{9} + \dfrac{8}{9} \times 2^{4n} \times 25^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{19}{45} - \dfrac{8}{9}\left(\dfrac{16}{25}\right)^{n} + \dfrac{7}{15}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n} \).

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).

Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).

Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et \( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques \( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).

Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?